微分方程式 - SIMPLE2100シリーズ THE 定時退社

progジャンルでは無いのですがmiscと比べてどちらかというとこっちかな、と。
今日は一日家に引きこもってネット閲覧したり数学の教科書の復習をしたり。数学の勉強なんて１月ぶりくらいかも。たまに手を動かして数式を写経すると心が落ち着くのです。よくサボるのでその度にページが戻ったりしてますが。一階線形微分方程式「 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \dots(*A)$ 」の一般解の導出に「 $u=e^{\int Pdx}y$ 」を利用するという手法がありますが、このuによる置き換えがどこから沸いてきたものかが気になってしかたありません…。微積分系の学問って、この形式にはこの置き換え、みたいな紹介がされていることが普通で、なぜその手法を最初に思いついたのかてのがよく分からないわけです。この置き換えに関しては

やさしく学べる微分方程式

作者: 石村園子
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 2003/11/15
メディア: 単行本
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おそらくこの本に書いてあったような気がするのですが、手元にないのでなんとも言えず(図書館で借りただけなので)…。気になる…。これは買え、という事なのか!?
追記：今読んでる本に書いてあったもう一つの解放についてメモ。上記の線形微分方程式の項Qを削除した同時方程式「 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$ 」をまず解く。これは簡単に「 $y=Ce^{-\int P dx}$ 」として求まる。このCの変わりに「 $u=u(x)$ 」で置き換えたら(*A)の解にならないか?と考え、「 $y=u(x)e^{-\int P dx} \dots(*B)$ 」をつくり、これに対する「 $\frac{dy}{dx}$ 」を求め(「 $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}e^{-\int P dx}-Pue^{-\int P dx}=\frac{du}{dx}e^{-\int P dx}-Py$ 」となる)、(*A)に代入して頑張ると「 $\frac{du}{dx}=e^{\int P dx}Q$ 」となる。uはこの式のxに関する積分で求まるから「 $u(x)=\int e^{\int P dx}Q dx + C$ 」。よって一般解は(*B)のu(x)を今の式に置き換えた「 $y=(\int e^{\int P dx}Q dx + C)e^{-\int P dx}$ 」になるというわけである。こっちの方法はなんとなく思考過程が分かるなあ。
以上、tex記法練習を兼ねた自分メモでした。てか、いつもベルヌーイを越えた辺りで飽きてしまって止めてるんだよなあ。まあ止めたところで何か困るわけでもないけれど。